Exercice

En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l’opérateur perd 10 % de ses clients, mais regagne dans le même temps 60 000 nouveaux clients.

1 a. On donne l’algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l’on obtient avec cet algorithme.

0,75 pt

b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour k de 0 jusqu’à 5.

0,75 pt

2 En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite (U_n) définie pour tout entier naturel n, par :

{ U 0 =1 000 U n+1 =0,9 U n +60

Le terme U_n donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l’année 2010 + n.

Pour étudier la suite (U_n), on considère la suite (V_n) définie pour tout entier naturel n par :

V_n = U_n - 600.

a. Montrer que la suite (V_n) est géométrique de raison 0,9.
0,5 pt

b. Déterminer l’expression de V_n en fonction de n. 0,5 pt

c. Montrer que pour tout entier naturel n, on a U_n = 400 × 0,9ⁿ + 600.
0,5 pt

d. Montrer que la suite (U_n) est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème. 0,75 pt

3 À la suite d’une campagne publicitaire conduite en 2013, l’opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.

Chaque année à compter de l’année 2014, l’opérateur ne perd plus que 8 % de ses clients et regagne 100 000 nouveaux clients.

On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à 860 000.

En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d’années nécessaire pour que l’opérateur retrouve au moins un million de clients. 1,25 pt