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Construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas
Nombres complexes
.icon_annales.png L'objectif de l'exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Sujet 7Construction d’un pentagone régulier à la règle et au compas35 min

Inde, avril 2016

Nombres complexes

Exercice

3 pts

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O, u , v ) , on considère le pentagone régulier A0A1A2A3A4, de centre O tel que OA 0 = u .

img1

On rappelle que dans le pentagone régulier A0A1A2A3A4, ci-dessus :

 les cinq côtés sont de même longueur ;

 les points A0, A1, A2, A3 et A4 appartiennent au cercle trigonométrique ;

 pour tout entier k appartenant à {0 ; 1 ; 2 ; 3}, on a :

( OA k ; OA k+1 )= 2π 5 .

1 On considère les points B d’affixe – 1 et J d’affixe i 2 .

Le cercle (𝒞) de centre J et de rayon 1 2 coupe le segment [BJ] en un point K.

Calculer BJ, puis en déduire BK. 0,5 pt

2a. Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement. 0,5 pt

b. Démontrer que BA 2 2 =2+2cos( 4π 5 ) . 0,5 pt

c. Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :

Calcul formel

1

 

cos (4*pi/5)

 

1 4 ( 5 1)

2

 

sqrt ((3 – sqrt(5))/2)

 

1 2 ( 5 1)

«sqrt » signifie « racine carrée »

En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK. 0,5 pt

3 Dans le repère (O, u , v ) donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction. 1 pt

img2

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