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Mai
2016
Tle S
Mathématiques
Fonction exponentielle et intégrale
Fonctions
Intégration
Dresser le tableau des variations de g.

Sujet 9Fonction exponentielle et intégrale

Concours Geipi-Polytech, mai 2016

Concours

Fonctions

Intégration

Exercice

img1

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Partie A

On considère la fonction g définie, pour tout réel x, par g(x) = ex x.

1 g' désigne la dérivée de g. Donner, pour tout réel x, g'(x).

2 Donner l’ensemble des solutions réelles de l’inéquation g'(x) ≥ 0. Justifier la réponse.

3 Dresser le tableau des variations de g.

(Les limites de g en + ∞ et en – ∞ ne sont pas demandées).

4 Justifier que, pour tout réel x, g(x) > 0.

Partie B

On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par :

f(x)= e x e x x .

On note 𝓒 la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i , j ) .

1 a. Déterminer lim x f(x) . Justifier la réponse.

b. Que vaut lim x+ x e x  ? En déduire lim x+ f(x) . Justifier la réponse.

c. On en déduit que 𝓒 admet deux asymptotes Δ1 et Δ2.

Donner une équation de chacune d’elles.

2 f' désigne la dérivée de f. Justifier que, pour tout réel x :

f (x)= e x (1x) ( e x x) 2 .

3 a. Dresser le tableau des variations de f.

b. f présente un maximum yM atteint en xM. Donner les valeurs exactes de xM et yM, puis une valeur approchée de yM à 10– 1 près.

Dans la suite, on note M le point de coordonnées (xM, yM).

4 Soit A le point de la courbe 𝓒 d’abscisse 0.

Donner une équation de la tangente à 𝓒 en A.

5 Placer les points A et M. Tracer les tangentes à la courbe 𝓒 aux points A et M et les asymptotes Δ1 et Δ2. Puis tracer 𝓒.

img2

6 f admet sur l’intervalle [0, 1] un minimum a et un maximum b.

Donner les valeurs exactes de a et b.

7 On considère l’intégrale J= 0 1 f(x)dx .

a. Hachurer, sur la figure de la question 5, le domaine dont l’aire, en unités d’aire, vaut J.

b. En utilisant la question 6, justifier que 1J e e1 .

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