Exercice

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [3 ; 13] par :

f( x )=−2x+20− e −2x+10 .

Partie AÉtude de la fonction f

1 Montrer que la fonction dérivée f’ de la fonction f, définie pour tout x de l’intervalle [3 ; 13], a pour expression :

f ′ ( x )=2( −1+ e −2x+10 ). 0,75 pt

2 a. Résoudre dans l’intervalle [3 ; 13] l’inéquation f ′ ( x )≥0. 0,75 pt

b. En déduire le signe de f’(x) sur l’intervalle [3 ; 13] et dresser le tableau de variation de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10^- 3. 0,75 pt

c. Calculer l’intégrale ∫ 3 13 f( x )dx . On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^- 3 près. 1 pt

Partie BApplication

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production est commercialisée.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x centraines de toboggans est modélisé sur l’intervalle [3 ; 13] par la fonction f.

En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

1 Déterminer le nombre de toboggans que l’usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l’euro. 1 pt

2 Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l’euro. 0,75 pt

Partie CRentabilité

Pour être rentable, l’usine doit avoir un bénéfice positif.

Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l’usine doit fabriquer en un mois pour qu’elle soit rentable. Justifier la réponse. 1 pt