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Liban
Mai
2016
Bac
Spécifique
Tle S
Mathématiques
Fonction exponentielle, suite
Fonctions
Intégration
Suites
.icon_annales.png Émettre une conjecture quant au sens de variation de la suite.

Sujet 5Fonction exponentielle, suite50 min

Liban, mai 2016

Fonctions

Intégration

Suites

Exercice

4 pts

On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f(x)= 1 1+ e 1x .

Partie A

1 Étudier le sens de variation de la fonction ƒ sur l’intervalle [0 ; 1]0,5 pt

2 Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] :

f(x)= e x e x +e

(on rappelle que e = e1). 0,5 pt

3 Montrer alors que 0 1 f(x)dx=ln(2)+1ln(1+e) .  0,75 pt

Partie B

Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0 ; 1] par :

f n (x)= 1 1+n e 1x .

On note 𝓒n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général :

u n = 0 1 f n (x)dx .

1 On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 𝓒0 représentative de la fonction ƒ00,5 pt

img1

2 Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u00,5 pt

3 Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture. 0,75 pt

4 La suite (un) admet-elle une limite ? 0,5 pt

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