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France métropolitaine
Juin
2016
Bac
Spécialité
Tle ES
Mathématiques
Graphe, matrice, suite
Matrices
Probabilités
Suites
.icon_annales.png Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

Sujet 1Graphe, matrice, suite45 min

France métropolitaine, La Réunion, juin 2016

ES – Enseignement de spécialité

Probabilités
Matrices
Suites

Exercice

5 pts

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

On admet que :

 Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;

 s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».

Pour tout entier naturel n, on note :

 cn la probabilité de l’événement « Hugo court le (n + 1)-ième jour » ;

 rn la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le (n + 1)-ième jour » ;

 Pn la matrice (cn    rn) correspondant à l’état probabiliste le (n + 1)-ième jour.

Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc P0 = (c0     r0 ) = (1     0).

1 Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R. 0,5 pt

2 Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets. 0,5 pt

3 On donne M 6 =( 0,750016 0,249 984 0,749 952 0,250 048 ).

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité c6 qu’Hugo coure le 7e jour ?

Déterminer une valeur approchée à 10- 2 près de c6. 0,5 pt

4 a. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn. 0,5 pt

b. Montrer que, pour tout entier naturel n :

cn+1 = 0,2cn + 0,6.      0,5 pt

5Pour tout entier naturel n, on considère la suite (vn) définie par :

vn = cn − 0,75.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme. 0,5 pt

b. Exprimer vn en fonction de n.

Déterminer la limite de la suite (vn). 0,5 pt

c. Justifier que, pour tout entier naturel n :

cn = 0,75 + 0,25 × 0,2n.     0,5 pt

d. Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ? 0,5 pt

e. Conjecturer alors l’état stable de ce graphe. Comment valider votre conjecture ? 0,5 pt

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