Exercice

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1^er janvier 2014.

On admet que :

● Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;

● s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».

Pour tout entier naturel n, on note :

● c_n la probabilité de l’événement « Hugo court le (n + 1)-ième jour » ;

● r_n la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le (n + 1)-ième jour » ;

● P_n la matrice (c_n    r_n) correspondant à l’état probabiliste le (n + 1)-ième jour.

Le 1^er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc P₀ = (c₀     r₀ ) = (1     0).

1 Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R. 0,5 pt

2 Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets. 0,5 pt

3 On donne M 6 =( 0,750016 0,249984 0,749952 0,250048 ).

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité c₆ qu’Hugo coure le 7^e jour ?

Déterminer une valeur approchée à 10^- 2 près de c₆. 0,5 pt

4 a. Exprimer P_n+1 en fonction de P_n. 0,5 pt

b. Montrer que, pour tout entier naturel n :

c_n+1 = 0,2c_n + 0,6.      0,5 pt

5Pour tout entier naturel n, on considère la suite (v_n) définie par :

v_n = c_n − 0,75.

a. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme. 0,5 pt

b. Exprimer v_n en fonction de n.

Déterminer la limite de la suite (v_n). 0,5 pt

c. Justifier que, pour tout entier naturel n :

c_n = 0,75 + 0,25 × 0,2ⁿ.     0,5 pt

d. Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ? 0,5 pt

e. Conjecturer alors l’état stable de ce graphe. Comment valider votre conjecture ? 0,5 pt