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Mai
2016
Tle S
Mathématiques
Intersection de plans et de droites
Géométrie dans l'espace
Dans cette question, on va montrer que les droites ne sont pas coplanaires.

Sujet 9Intersections de plans et de droites

Concours Geipi-Polytech, mai 2016

Concours

Géométrie dans l’espace

Exercice

img1

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O; i , j , k ) , on considère :

 le point A de coordonnées (– 4 ; 2 ; 1) ;

 la droite 𝒟1 définie par le système d’équations paramétriques :

{ x=7+k y=6+k z=3k ,aveck  ;

 la droite 𝒟2 passant par le point A et de vecteur directeur u 2 (1;0;2) .

1 Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u 1 de la droite 𝒟1.

2 Écrire un système d’équations paramétriques de la droite 𝒟2. On notera t le paramètre.

3 Dans cette question on va montrer que les droites 𝒟1 et 𝒟2 ne sont pas coplanaires.

a. Justifier que les droites 𝒟1 et 𝒟2 ne sont pas parallèles.

b. Montrer que l’intersection des droites 𝒟1 et 𝒟2 est vide.

4 On considère le vecteur w de coordonnées (– 2 ; 3 ; 1).

Montrer que w est orthogonal à u 1 et à u 2 .

5 Soient B et C les points définis par AB = w et AC = u 2 et n le vecteur de coordonnées (6 ; 5 ; – 3). On nomme 𝒫 le plan contenant les points A, B et C.

a. Montrer que n est un vecteur normal au plan 𝒫.

b. 𝒫 a donc une équation cartésienne de la forme 6x + 5y – 3z + d = 0, où d désigne un réel.

Montrer que d = 17.

6 On nomme E le point d’intersection du plan 𝒫 et de la droite 𝒟1.

Déterminer les coordonnées (xE ; yE ; zE) du point E.

7 Soit Δ la droite passant par E et de vecteur directeur w .

a. Quel est le point d’intersection des droites Δ et 𝒟1 ?

b. Justifier que les droites Δ et 𝒟1 sont perpendiculaires.

c. Justifier que la droite Δ est incluse dans le plan 𝒫.

d. En déduire que les droites Δ et 𝒟2 sont perpendiculaires.

En conclusion, on a démontré que la droite Δ est une perpendiculaire commune aux droites 𝒟1 et 𝒟2.

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