Exercice

Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises

Un cabinet d’audit a été chargé d’étudier la répartition des salaires dans deux filiales d’une entreprise, appelées A et B. Pour l’étude, les salaires sont classés par ordre croissant.

Le cabinet d’audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction u pour la filiale A et par la fonction v pour la filiale B.

Les fonctions u et v sont définies sur l’intervalle [0 ; 1] par :

u(x) = 0,6 x² + 0,4x et v(x) = 0,7x³ + 0,1 x² + 0,2x.

On a tracé ci-dessous les courbes représentatives 𝓒 et 𝓒′ des fonctions u et v.

1 Déterminer la courbe représentative de la fonction u en justifiant la réponse.

2 Lorsque x représente un pourcentage de salariés, u(x) et v(x) représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

Exemple : pour la courbe 𝓒, le point E(0,60 ; 0,3072) signifie que 60 % des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72 % de la masse salariale.

a. Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50 % des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.

b. Pour les 50 % des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?

c. Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?

3 Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction f modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :

c f =2( 1 2 − ∫ 0 1 f( x )dx ).

a. Montrer que c_u = 0,2.

b. En observant que c v 2 = ∫ 0 1 xdx− ∫ 0 1 v( x )dx , donner une interprétation graphique de c v 2 en termes d’aires.

c. En déduire que c_v est compris entre 0 et 1.

d. Justifier l’inégalité c_u ≤ c_v.