Exercice

La courbe 𝒞 ci-dessous représente le nombre de personnes malades (en milliers) dans un pays lors d’une épidémie en fonction du nombre t de jours écoulés depuis l’apparition de la maladie.

Partie A

1 À l’aide du graphique, déterminer au bout de combien de jours le nombre de malades est maximal, puis préciser le nombre approximatif de malades ce jour-là.

2 Estimer graphiquement le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte (expliquer rapidement la démarche utilisée).

Partie B

On modélise le nombre de malades (en milliers) en fonction du temps, à l’aide de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 60] par :

f( t )= t 2 e −0,1t

où t représente le nombre de jours écoulés depuis l’apparition de la maladie. Pour étudier les propriétés de la fonction f, on a utilisé un logiciel de calcul formel qui a fourni les résultats suivants :

● f ′ ( t )=0,1t( 20−t ) e −0,1t ;

● f ″ ( t )=( 0,01 t 2 −0,4t+2 ) e −0,1t ;

● F( t )=( −10 t 2 −200t−2000 ) e −0,1t ;

où f′ désigne la dérivée de f, f″ désigne sa dérivée seconde et F une primitive de f.

1 Démontrer le résultat f ′ ( t )=0,1t( 20−t ) e −0,1t qui a été fourni par le logiciel.

2 a. Déterminer le signe de f′(t) sur [0 ; 60].

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 60].

3 Le nombre moyen de malades par jour, en milliers, durant les 60 premiers jours après l’apparition de la maladie est donné par N= 1 60 ∫ 0 60 f( t )dt.

a. Déterminer la valeur exacte de N.

b. Quel est le nombre moyen de malades par jour, arrondi à la dizaine ?

4 a. Justifier le calcul que, sur l’intervalle [0 ; 15], la courbe représentative de la fonction f admet un unique point d’inflexion.

Préciser une valeur arrondie à l’unité de l’abscisse de ce point d’inflexion.

b. Donner une interprétation concrète de cette abscisse.