Exercice

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats, des chocolats noirs et des chocolats au lait. 60 % des chocolats fabriqués sont noirs. Parmi ceux-ci, 70 % sont fourrés, tandis que 30 % seulement des chocolats au lait sont fourrés.

Partie A

Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte.

Un client fait une dégustation de chocolats et il en choisit un au hasard.

On considère les événements suivants :

N « le chocolat choisi est noir ».

F « le chocolat choisi est fourré ».

1 Donner la probabilité P₁ que le chocolat choisi soit noir.

2 Déterminer la probabilité P₂ que le chocolat choisi soit noir et fourré.

Justifier la réponse.

3 On note P₃ la probabilité que le chocolat choisi soit fourré.

Justifier que P₃ = 0,54.

Partie B

Un client achète une boîte de n chocolats, où n est un entier naturel non nul.

Chaque chocolat mis dans la boîte est choisi au hasard et on suppose le nombre de chocolats suffisamment grand pour que l’on puisse considérer que les choix successifs sont faits de façon identique et indépendante.

On note X_n la variable aléatoire représentant le nombre de chocolats fourrés contenus dans la boîte.

1 X_n suit une loi binominale, dont on précisera les paramètres.

2 Dans cette question n = 12 et, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à 10^– 4 près.

a. Donner la probabilité P₄ que la moitié des chocolats de la boîte soient fourrés.

b. Donner la probabilité P₅ que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.

c. Donner la probabilité P₆ que la boîte contienne au plus trois chocolats fourrés.

3 Dans cette question, n est quelconque.

a. Donner, en fonction de n, la probabilité q_n que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.

b. Déterminer le nombre minimum n₀ de chocolats que doit acheter le client afin que la probabilité que la boîte contienne au moins un chocolat fourré soit strictement supérieure à 0,98. Détailler les calculs.

Partie C

Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à 10^– 4 près.

Une étude a montré que la variable aléatoire représentant le poids, exprimé en grammes, d’un chocolat choisi au hasard dans l’ensemble de la production suit une loi normale d’espérance m = 15 et d’écart-type σ = 2.

Le service qualité effectue un contrôle et choisit au hasard un chocolat dans l’ensemble de la production.

1 Donner la probabilité P₇ que le chocolat choisi pèse plus de 17 grammes.

2 Donner la probabilité P₈ que le chocolat choisi pèse moins de 13 grammes.

3 Donner la probabilité P₉ que le chocolat choisi pèse entre 12 et 18 grammes.