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Polynésie
Septembre
2015
Bac
Tle S
Mathématiques
Nombre complexe, fonctions exponentielle et trigonométrique, aire
Fonctions
Nombres complexes
.icon_annales.png Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe u.

10Nombre complexe, fonctions exponentielles et trigonométriques, aire1 h 25

Polynésie, septembre 2015

Nombres complexes

Fonctions

Exercice

7 pts

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On rappelle que la partie réelle d’un nombre complexe z est notée ℛ(z).

1 Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe u = 1 – i.

2 Déterminer, pour tout réel θ, la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe e(1 – i).

3 Déduire des questions précédentes que, pour tout réel θ :

cos(θ)+sin(θ)= 2 cos( θ π 4 ) .

Partie B

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel θ :

cos(θ)+sin(θ)= 2 cos( θ π 4 ) .

On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f(x) = e x cos(x) et g(x) = e x.

On définit la fonction h sur [0 ; +∞[ par h(x) = g(x) – f(x).

Les représentations graphiques 𝒞f, 𝒞g et 𝒞h des fonctions f, g et h sont données ci-dessous dans un repère orthogonal.

img1

1 Conjecturer :

a. les limites des fonctions f et g en +∞ ;

b. la position relative de 𝒞f par rapport à 𝒞g ;

c. la valeur de l’abscisse x pour laquelle l’écart entre les deux courbes 𝒞f et 𝒞g est maximal.

2 Justifier que 𝒞g est située au-dessus de 𝒞f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

3 Démontrer que la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale aux courbes 𝒞f et 𝒞g.

4a. On note la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[ :

h (x)= e x [ 2 cos( x π 4 )1 ] .

b. Justifier que, sur l’intervalle [ 0; π 2 ] , 2 cos( x π 4 )10 et que, sur l’intervalle [ π 2 ;2π ] , 2 cos( x π 4 )10 .

c. En déduire le tableau de variation de la fonction h sur l’intervalle [0 ; 2π].

5 On admet que, sur l’intervalle [0 ; +∞[, la fonction H définie par :

H(x)= 1 2 e x [2+cos(x)sin(x)]

est une primitive de la fonction h.

On note 𝒟 le domaine du plan délimité par les courbes 𝒞f et 𝒞g, et les droites d’équations x = 0 et x = 2π.

Calculer l’aire 𝒜 du domaine 𝒟, exprimée en unités d’aire.

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