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Nouvelle-Calédonie
Mars
2016
Bac
Tle S
Mathématiques
Nombres complexes, application géométrique, construction à la règle et au compas
Géométrie dans le plan
Nombres complexes
.icon_annales.png L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points.

9Nombres complexes, application géométrique, construction à la règle et au compas1 heure

Nouvelle-Calédonie, mars 2016

Nombres complexes

Géométrie dans le plan

Exercice

5 pts

On considère les nombres complexes zn définis, pour tout entier naturel n, par :

z 0 =1et z n+1 =( 1+i 3 3 ) z n .

On note An le point d’affixe zn dans le repère orthonormé (O, u , v ) ci-dessous.

img1

L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points An.

1a. Vérifier que 1+i 3 3 = 2 3 e i π 6 .

b. En déduire z1 et z2 sous forme exponentielle.

2a. Montrer que pour tout entier naturel n :

z n = ( 2 3 ) n e in π 6 .

b. Pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont-ils alignés ?

3 Pour tout entier naturel n, on pose dn = |zn + 1 – zn|.

a. Interpréter géométriquement dn.

b. Calculer d0.

c. Montrer que pour tout entier naturel n :

z n+2 z n+1 =( 1+i 3 3 )( z n+1 z n ) .

d. En déduire que la suite (dn)n≥0 est géométrique, puis que, pour tout entier naturel n :

d n = 3 3 ( 2 3 ) n .

4a. Montrer que pour tout entier naturel n :

| z n+1 | 2 = | z n | 2 + d n 2 .

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangle OAnAn+ 1 est rectangle en An.

c. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A5 sur la figure ci-avant.

d. Justifier cette construction.

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