Exercice

En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5 700 euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d’un montant de 5 700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300 euros est versée par l’emprunteur à l’organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 %, puis baisse de 300 euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note u_n le capital restant dû en euros juste après la n-ième mensualité (n entier naturel non nul). On convient que u₀ = 5 700.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.

1a. Démontrer que u₁, capital restant dû au 26 février 2016, juste après la première mensualité, est de 5 485,50 euros. 0,5 pt

b. Calculer u₂. 0,5 pt

2 On admet que la suite (u_n) est définie pour tout entier naturel n par :

u_n+l = 1,015u_n – 300.

On considère l’algorithme suivant :

a.  Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire entre la deuxième et la dernière colonne. 0,5 pt

b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. 0,5 pt

3 Soit la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :

v_n = u_n – 20 000.

a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :

v_n+1 = 1,015 × v_n. 0,5 pt

b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

u_n = 20 000 – 14 300 × 1,015ⁿ. 0,5 pt

4 À l’aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :

a. Démontrer qu’une valeur approchée du capital restant dû par l’emprunteur au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros. 0,5 pt

b. Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt. 0,5 pt

c. Quel sera le montant de la dernière mensualité ? 0,5 pt

d. Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ? 0,5 pt