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Mathématiques
Algorithme, suite : inéquation
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Sujet 2Algorithme, suite : inéquation45 min

Amérique du Nord, juin 2016

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Algorithmique
Suites

Exercice

5 pts

Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1er janvier 2016, on compte 4 000 abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d’un mois sur l’autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent, mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.

1 Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016. 0,75 pt

Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique (un), où un représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de n mois après le 1er janvier 2016.

La suite (un) est donc définie par u0 = 4 et, pour tout entier naturel n :

un +1 = 0,92un + 8.

2 On considère l’algorithme suivant :

Variables :

 

N est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

Traitement :

 

 

 

 

 

U prend la valeur 4

N prend la valeur 0

Tant que U < 40

U prend la valeur 0,92 × U + 8
N prend la valeur N + 1

Fin Tant que

Sortie :

Afficher N

a. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de U seront arrondies au dixième.

Valeur de U

4

Valeur de N

0

Condition U < 40

vraie

0,75 pt

b. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. 1 pt

3 On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un −100.

a. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme v0. 0,5 pt

b. Donner l’expression de vn en fonction de n. 0,5 pt

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

un = 100 − 96 × 0,92n.    0,5 pt

4 En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000. 1 pt

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