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Liban
Mai
2016
Bac
Spécifique
Tle ES
Mathématiques
Graphe probabiliste, état stable, matrcies, algorithmes, suites, inéquation
Algorithmique
Matrices
Suites
.icon_annales.png L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.

Sujet 5Graphe probabiliste, état stable, matrices, algorithmes, suites, inéquation45 min

Liban, mai 2016

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Suites
Algorithmique
Matrices

Exercice

5 pts

L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.

En 2015, l’entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite (un), où un représente le nombre de contrats souscrits auprès de l’entreprise PiscinePlus l’année 2015 + n. Ainsi, on a u0 = 75.

1 a. Estimer le nombre de contrats d’entretien en 2016. 0,5 pt

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

u n+1 =1,12 u n 6.        0,75 pt

2 L’entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche à connaître en quelle année l’entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :

L1

L2

Variables :

 

n est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

L3

L4

L5

L6
L7

L8

Traitement :

 

 

 

 

 

Affecter à n la valeur 0

Affecter à U la valeur 75

Tant que U < 100 faire

n prend la valeur n + 1
U prend la valeur 1,12 U – 6

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher…

a. Recopier et compléter la ligne L9. 0,25 pt

b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-avant. On arrondira à l’unité.

Valeur de n

0

    

     

Valeur de U

75

    

    

0,5 pt

c. Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. 0,5 pt

3 On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :

u n+1 =1,12 u n 6 , où u 0 =75.

On pose pour tout entier naturel n :

v n = u n 50.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. 0,5 pt

b. En déduire l’expression de vn en fonction de n, puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

u n =25× 1,12 n +50.                          0,75 pt

c. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation u n >100. 0,75 pt

d. Quel résultat de la question 2retrouve-t-on ? 0,5 pt

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