Exercice

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

À une sortie d’autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

● 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés ; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes ;

● 52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moins de 10 secondes ;

● les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets).

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants :

● G « l’automobiliste emprunte la voie de gauche » ;

● C « l’automobiliste emprunte la voie du centre » ;

● D « l’automobiliste emprunte la voie de droite » ;

● T « l’automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes ».

On note T ¯ l’événement contraire de l’événement T.

1 Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l’exercice. 0,75 pt

2 Calculer la probabilité p( C∩T ). 0,75 pt

3 L’étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.

a Justifier que p( D∩T )=0,03. 0,75 pt

b Calculer la probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes. 1 pt

Partie B

Quelques kilomètres avant la sortie de l’autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire V qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h^–1.

On admet que V suit la loi normale d’espérance μ = 120 et d’écart-type σ = 7,5.

1 Déterminer la probabilité p( 120<V<130 ). On arrondira le résultat au millième. 0,75 pt

2 Une contravention est envoyée à l’automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h^–1.

Déterminer la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième. 1 pt