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Antilles-Guyane
Juin
2016
Bac
Spécialité
Tle S
Mathématiques
Arithmétique, algorithme, matrice
Algorithmique
Arithmétique
Matrices
.icon_annales.png Donner une solution particulière de l'équation E.

Sujet 3Arithmétique, algorithme, matrice1 heure

Antilles – Guyane, juin 2016

Enseignement de spécialité

Arithmétique
Algorithmique
Matrices

Exercice

5 pts

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l’équation suivante d’inconnues x et y entiers relatifs :

7x – 3y = 1 (E).

1 Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu’il donne les solutions entières (x ; y) de l’équation (E) vérifiant :

– 5 ≤ x ≤ 10     et     – 5 ≤ y ≤ 10.          0,5 pt

Variables :

X est un nombre entier

Y est un nombre entier

Début :

Pour X variant de – 5 à 10

(1)………………

(2)………………

Alors Afficher X et Y

Fin Si

Fin Pour

Fin Pour

Fin

2 a. Donner une solution particulière de l’équation (E).          0,25 pt

b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).          0,5 pt

c. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) tels que :

– 5 ≤ x ≤ 10 et – 5 ≤ y ≤ 10.          0,5 pt

Partie B

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; u , v ) .

On considère la droite 𝒟 d’équation :

7x – 3y – 1 = 0.

On définit la suite (An) de points du plan de coordonnées (xn ; yn) vérifiant pour tout n entier naturel :

{ x 0 =1 y 0 =2 et{ x n+1 = 13 2 x n +3 y n y n+1 = 35 2 x n +8 y n

1 On note M la matrice ( 13 2 3 35 2 8 ) . Pour tout entier naturel n, on pose X n =( x n y n ) .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, Xn + 1MXn.          0,25 pt

b. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel n, Xn en fonction de Mn et X0.         0,5 pt

2 On considère la matrice P=( 23 57 ) et on admet que la matrice inverse de P, notée P– 1, est définie par P 1 =( 73 52 ) .

a. Vérifier que – 1M P est une matrice diagonale D que l’on précisera.         0,5 pt

b. Pour tout entier naturel n, donner Dn sans justification.         0,5 pt

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :

MnP Dn – 1.         0,5 pt

3 On admet que, pour tout entier naturel n, M n =( 14+ 15 2 n 6 6 2 n 35+ 35 2 n 15 14 2 n ) .

En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de xn et de yn en fonction de n.         0,5 pt

4 Montrer que, pour tout entier naturel n, le point An appartient à la droite 𝒟.          0,5 pt

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