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Inde
Avril
2016
Bac
Spécialité
Tle S
Mathématiques
Matrice, arithmétique, codage
Arithmétique
Matrices
.icon_annales.png Déterminer la matrice inverse de Q.

Sujet 7Matrice, arithmétique, codage1 heure

Inde, avril 2016

Enseignement de spécialité

Matrices
Arithmétique

Exercice

5 pts

Partie A

On considère les matrices M de la forme M=( a b 5 3 ) , où a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a – 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M).

Ainsi det(M)= 3a– 5b.

1 Dans cette question, on suppose que det(M) ≠ 0 et on pose :

N= 1 det(M) ( 3 b 5 a ) .

Justifier que N est l’inverse de M.          0,5 pt

2 On considère l’équation (E) : det(M) =  3. On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).

a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).          0,25 pt

b. Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement si 3(a – 6) = 5(b – 3).          0,5 pt

c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).          0,25 pt

Partie B

1 On pose Q=( 6 3 5 3 ) .

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.

2 Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q=( 6 3 5 3 ) , on utilise la procédure ci-dessous :

Étape 1 : On associe au mot la matrice X=( x 1 x 2 ) , où x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice Y=( y 1 y 2 ) telle que Y = QX.

Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice R=( r 1 r 2 ) telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 4 : À la matrice R=( r 1 r 2 ) , on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

Exemple : JEX=( 9 4 )Y=( 66 57 )R=( 14 5 )OF .

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.          1 pt

3 Procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que :

Y = QX.

a. Démontrer que 3X = 3Q–1Y, puis que :

{ 3 x 1 =3 r 1 3 r 2 [ 26 ] 3 x 2 =5 r 1 +6 r 2 [ 26 ]           1 pt

b. En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que :

{ x 1 r 1 r 2 [ 26 ] x 2 7 r 1 +2 r 2 [ 26 ]           0,75 pt

c. Décoder le mot SG.          0,75 pt

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