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Polynésie
Septembre
2015
Bac
Spécifique
Tle ES
Mathématiques
Lecture graphique, intégrale, logiciel de calcul formel
Fonctions
Intégration
.icon_annales.png On considère une fonction P définie variable et dérivale sur l'intervalle [0 ; 60].

4Lecture graphique, intégrale, logiciel de calcul formel45 min

Polynésie, septembre 2015

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Fonctions

Intégration

Exercice

5 pts

On considère une fonction P définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 60].

On donne, ci-dessous, la courbe représentative 𝓒 de la fonction P.

img1

Partie A

À partir d’une lecture graphique, répondre aux questions qui suivent :

1 En argumentant la réponse, donner le signe de P′(54), où P′ est la fonction dérivée de P.

2 Donner un intervalle sur lequel la fonction P est convexe.

3 Donner, à l’unité près, les solutions de l’équation P(x) = 10.

4 On note A le nombre 0 10 P( x )dx  ; choisir l’encadrement qui convient pour A :

a. 0 < A < 60 ; b. 60 < A < 70 ; c. 6 < A < 7 ; d. 10 < A < 11.

Partie B

La fonction P est définie sur l’intervalle [0 ; 60] par :

P( x )=6+( 60x ) e 0,1x5 .

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

Actions

Résultats

definir(P(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5))

x↦6+(60-x)*exp(0.1*x-5)

deriver(P(x),x)

(-0.1*x+5)*exp(0.1*x-5)

deriver(deriver(P(x),x),x)

(-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)

1 a. Étudier le signe de P′(x) sur l’intervalle [0 ; 60], où P′ est la fonction dérivée de P.

b. En déduire les variations de la fonction P sur l’intervalle [0 ; 60] et vérifier que la fonction P admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.

2 Montrer que l’équation P(x) = 10 a une solution unique x0 sur l’intervalle [0 ; 40]. Donner une valeur approchée de x0 à 0,1 près.

3 En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction P.

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